Verallgemeinerte Newtonsche Flüssigkeiten

Viele Flüssigkeiten, deren Verhalten nicht adäquat mit den Navier-Stokes Gleichungen beschrieben werden kann, können als so genannte verallgemeinerte Newtonsche Flüssigkeiten modelliert werden. Die Untersuchung verschiedener Aspekte der aus diesem Ansatz resultierenden Gleichungssysteme mit so genannter p-Struktur ist ein Schwerpunkt meiner gegenwärtigen Forschung. Ein zentrales Problem ist die Verbesserung der unteren Schranke für die Existenz schwacher Lösungen. Auf Grund der verschiedenen Techniken, die in 5, 20, 43, 49, 50, 51 für die stationären und instationären Gleichungen entwickelt wurden, konnte in beiden Fällen die Existenz schwacher Lösungen für p > 2N/(N+2) bewiesen werden. Diese Schranke ist optimal. Weitere qualitative Eigenschaften der Lösungen wurden in 5, 8, 12, 27, 34, 43, 67 nachgewiesen. Analoge Resultate für Herschel-Bulkley Flüssigkeiten und inhomogene verallgemeinerte Newtonsche Flüssigkeiten sind in 35, 44, 54 enthalten. Ein weiteres zentrales Thema ist die Regularitätstheorie für Gleichungen mit p-Struktur. Befriedigende Ergebnisse sind für verallgemeinerte Newtonsche Flüssigkeiten nur für periodische Randbedingungen bekannt (cf. 12, 25, 34, 45). Im Falle von Dirichlet Randbedingungen sind noch fundamentale Fragen offen, die aus der Divergenzbedingung und der Abhängigkeit der Nichtlinearität vom symmetrischen Gradienten resultieren. Bisher sind nur suboptimale Ergebnisse bekannt (52, 53). Auch im Bereich der numerischen Analysis von Problemen mit p-Struktur sind noch viele Fragen offen. Erste Resultate zu Konvergenzraten, die von p abhängen, voll impliziter Orts-Zeitdiskretisierungen von Strömungen verallgemeinerter Newtonscher Flüssigkeiten sind in 25 enthalten (cf. 30, 38 für Zeitdiskretisierungen). Hierbei ist es ein zentrales Problem, ein geeignetes Maß für den Fehler zu finden. Basierend auf Ideen aus der Variationsrechnung, der Regularitätstheorie und der numerischen Analysis hat sich ein "natürlicher Abstand" herauskristallisiert, der sich als das angemessene Fehlermaß erweist (cf. 39, 40, 43, 45, 48, 60). In 40 und 48 konnten erstmals optimale, von $p$ unabhängige, Konvergenzraten bewiesen werden. Im Rahmen der DFG Forschergruppe "Nonlinear Partial Differential Equations: Theoretical and Numerical Analysis" wurde zusammen mit K. Siebert das Softwarepaket ALBERTA um einen Löser für Strömungsprobleme verallgemeinerter Newtonscher Flüssigkeiten erweitert (cf. 60 für Testrechnungen in stationären Fall). In letzter Zeit interessiert mich auch die Kopplung von Strömungen verallgemeinerter Newtonscher Flüssigkeiten mit elastischen Strukturen. Solche "Fluid-Structur-Interaction" Probleme treten unter anderem bei der Modellierung von Blutströmungen in Adern auf. Ein Teilprojekt im SFB/TR 71 "Geometric Partial Differential Equations" ist der analytischen und numerischen Untersuchung dieser Problematik gewidmet.

Elektrorheologische Materialien

Ein weiterer Schwerpunkt meiner gegenwärtigen Forschung, wie auch schon während meiner Forschungsaufenthalte in Pittsburgh und Ferrara, ist die Modellierung elektrorheologischer Flüssigkeiten (17, 26, 37, 65, 66, 68) und die mathematische Behandlung der resultierenden Gleichungssysteme (22, 23, 29, 34, 41, 42, 43, 51, 65, 66, 68). Elektrorheologische Flüssigkeiten ändern ihre Viskosität in Abhängigkeit von einem äußeren elektrischen Feld. Dieser Effekt schlägt sich in der Form des Spannungstensors nieder. Als mathematischer Prototyp dafür kann der stationäre oder instationäre so genannte p(.)-Laplace-Operator angesehen werden. Hierbei ist p eine gegebene orts- und zeitabhängige Funktion. In diesem Zusammenhang eröffnet sich ein weites Feld, sowohl für die Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen mit p(.)-Struktur, als auch für die Untersuchung von Funktionenräumen mit variablen Exponenten und auf ihnen definierten Operatoren. Beide Gebiete erleben momentan eine enorme Publikationstätigkeit. Eigene Beiträge zu diesem Problemkreis sind, neben den bereits aufgeführten Arbeiten, in 28, 31, 32, 33, 49, 70 enthalten.

Grenzwerte kompressibler Flüssigkeiten

In 16 gelang erstmals eine konsistente Herleitung der Boussinesq Approximation, dem Standardmodell für Konvektionsprobleme. Eine mathematisch rigorose Rechtfertigung vereinfachter Teilprobleme ist in 24, 36 enthalten. In 55, 56, 59, 61 werden verschiedene inkompressible Modelle als konstitutive Grenzwerte kompressibler Flüssigkeiten gerechtfertigt. Dieser mathematisch rigorose Zugang ist durch Untersuchungen aus der Ingenieursliteratur motiviert. Die Arbeiten 46, 57 enthalten erste theoretische Resultate für die Boussinesq Approximation zwischen koaxialen Zylindern.

Regularität der Navier-Stokes Gleichungen

Auf Grund der Skalierungseigenschaften der Navier-Stokes Gleichungen bestehen Analogien zwischen den $N$-dimensionalen instationären und den (N+2)-dimensionalen stationären Gleichungen. Für N >2 ist in beiden Fällen die Regularität und Eindeutigkeit schwacher Lösungen ein offenes Problem. Für die stationären Gleichungen konnte die \linebreak Existenz schwacher Lösungen, die zusätzlich eine einseitige Maximumseigenschaft für den Ruhedruck besitzen, gezeigt werden (6, 7, 10, 11, 18). Auf Grund dieser Maximumseigenschaft ist es möglich, lokale Regularität sogenannter schwacher "Maximumslösungen" zu zeigen (9-11, 18, 19, 63, 64). Diese Ideen konnten in 47 auf die Rothe-Approximation in beliebiger Dimension angewendet werden. Weiterhin gelang es zum ersten Mal in der Theorie der Navier-Stokes Gleichungen, ein hinreichendes Regularitätskriterium anzugeben, welches positive Skalierungsdimension hat (19). Auch bei der Lösung eines alten Problems von Leray spielt eine einseitige Schranke des Ruhedrucks eine entscheidende Rolle. In 14, 15 wurde gezeigt, dass selbstähnliche Lösungen der instationären Navier-Stokes Gleichungen, die im Raum L^infty (I;L ³ ( R³)) liegen, notwendig trivial sind.

Modellierung

Die Modellierung neuer Phänomene und innovativer Materialien im Rahmen der Kontinuumsmechanik ist ein weiteres Gebiet, dem mein Interesse gilt. In der Zusammenarbeit mit Ingenieuren und Physikern ergeben sich für beide Seiten neue Einsichten und Impulse. Es entstehen physikalisch fundierte Gleichungen, deren mathematische Untersuchungen interessante und neue mathematische Probleme aufwerfen (cf. multipolare viskoelastische Flüssigkeiten 2, 4, 62; elektrorheologische Flüssigkeiten 17, 21, 26, 37, 68; Grenzwerte kompresibler Flüssigkeiten 8, 16, 24, 55, 59, 61).