Anisotroper mittlerer Krümmungsfluss in höherer Kodimension

Der anisotrope mittlere Krüungsfluss ist bereits sehr intensiv untersucht worden. Das Interesse daran ist motiviert sowohl durch die möglichen Anwendungen, als auch durch seine intrinsische geometrische Anziehungskraft. Bisher lag der Schwerpunkt der Forschung bei der analytischen und numerischen Analyse der Bewegung von Hyperflächen.

Ich interessiere mich fü den anisotropen mittleren Krümmungsfluss in höherer Kodimension, ein Thema, das viel weniger Aufmersamkeit bekommen hat. Genauer formuliert: Ich untersuche die Bewegung von parametrisierten Kurven und zweidimensionalen Flächen in R^n für beliebig grosses n.

Der anisotrope mittlere Krümmungsfluss ist definiert als der L^2-Gradientenfluss für das anisotrope Flächeninhaltsfunktional. Letzteres ist durch eine anisotrope Funktion beschrieben, eine Abbildung, die sich wie eine Norm verhält und jeder Tangentialebene ein positives Gewicht zuweist. Die anisotrope Funktion stellt die Idee dar, dass die Richtungen im Raum unterschiedlich zählen, d.h. der Raum ist anisotrop.

Wenn zum Beispiel

eine geschlossene Kurve Γ parametrisiert, dann ist das anisotrope Längefunktional gegeben durch

wobei

die anisotrope Funktion bezeichnet. Wenn man Φ als die übliche Euklidische Norm wählt, erhält man den isotropen Fall.

Unten können Sie sich einige graphische Beispiele anschauen. Mein Diskretisierungsschema benutzt stückweise lineare Finite Elemente.

Meine Forschung wurde teilweise unterstützt durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft im Rahmen der DFG-Forschergruppe "Nonlinear Partial Differential Equations: Theoretical and Numerical Analysis". Die Abbildungen habe ich mit GRAPE erzeugt.

Literatur:

	P. Pozzi Anisotropic curve shortening flow in higher codimension Math. Methods Appl. Sci. 30 (2007), no. 11, 1243-1281
	P. Pozzi Anisotropic mean curvature flow for two dimensional surfaces in higher codimension: a numerical scheme Preprint Fakultät für Mathematik und Physik, Universität Freiburg, Nr. 12-07 (2007) To appear in Interfaces and Free Bound.

Hier sehen Sie die Entwicklung einer Kurve unter einer Anisotropie, deren Einheitsball ein Ellipsoid ist, der sehr lang in Richtung der x-Achse ist.

Hier sehen Sie die Entwicklung eines Ellipsoids unter einer krystallinen Anisotropie.

Autor: Paola Pozzi : Letzte Änderung: 18.6.2008