| |
Flussgleichungen wie der Mittlere Krümmungsfluss, der Wärmeleitungsfluss oder der Willmore-Fluss werden in unserer
Arbeitsgruppe mithilfe der Methode der Finiten Elemente numerisch untersucht. Ein weiteres Beispiel für eine Evolutionsgleichung
auf einer (nicht notwendigerweise eingebetteten) Riemannschen Mannigfaltigkeit stellt der Ricci-Fluss dar.
Unter dem Ricci-Fluss einer Riemannschen Mannigfaltigkeit versteht man eine zeitabhängige Riemannsche Metrik g(t),
welche die nicht-lineare partielle Differentialgleichung
löst, wobei ric(t) die zeitabhängige Ricci-Krümmung bezüglich der Metrik g(t) bezeichnet.
Der Ricci-Fluss selbst stellt keine
parabolische Differentialgleichung dar. Trotzdem kann er in einem bestimmten Sinne auf eine parabolische Differentialgleichung
zurückgeführt werden. Die Kurzzeitexistenz des Ricci-Flusses konnte zuerst von Richard Hamilton bewiesen werden, welcher
den Ricci-Fluss im Jahr 1982 zur Untersuchung der Topologie von 3-dimensionalen, geschlossenen Mannigfaltigkeiten einführte. Seither zog
der Ricci-Fluss ein beachtliches Interesse der Fachwelt auf sich. Dies hing mit der Erwartung zusammen, dass sich der Ricci-Fluss als
nützliches Werkzeug beim Beweis der Geometrisierungsvermutung von William Thurston und insbesondere der Poincaréschen Vermutung
erweisen könnte. In den Jahren 2002/2003 gelang Grigori Perelman diesbezüglich tatsächlich der entscheidende Durchbruch.
Entgegen seiner herausragenden Bedeutung beschränken sich bisherige Arbeiten zur Numerik des Ricci-Flusses auf einige wenige
Spezialfälle. Aufbauend auf den Erfahrungen unserer Arbeitsgruppe im numerischen Lösen von geometrischen Differentialgleichungen,
wollen wir in diesem Projekt daher einen numerischen Algorithmus für den n-dimensionalen Ricci-Fluss entwickeln. Hierbei soll auf
einschränkende Voraussetzungen wie Symmetrieannahmen oder konforme Geometrie verzichtet werden. Darüber hinaus soll unser
Algorithmus prinzipiell auch in höheren Dimensionen funktionieren. Als Basis eines solchen Algorithmus sehen wir eine adäquate
Diskretisierung des Ricci-Flusses an. Aus diesem Grund gehen wir von einer schwachen Formulierung der Ricci-Krümmung aus, die wir mithilfe
stückweiser linearer Finiter Elemente diskretisieren möchten. Spätere Beispielrechnungen sind hauptsächlich
für den dreidimensionalen Fall geplant. Hierfür soll auch eine geeignete Visualisierung des Ricci-Flusses entwickelt werden.
Literaturempfehlung: Peter Topping, Lectures on the Ricci-Flow, erschienen bei Cambridge University Press
|
|
