Adaptive Löser für degeneriert parabolische Probleme
Phasenübergänge (z.B. fest-flüssig) können durch
degeneriert parabolische Gleichungen wie das klassische Stefan-Problem
beschrieben werden. In der Arbeitsgruppe werden Fehlerschätzer und
adaptive Finite Elemente Methoden für solche Gleichungen
entwickelt.
Klassisches Stefan-Problem
Eriksson und Johnson [ErikssonJohnson'91] entwickelten die ersten
Fehlerschätzer für Finite-Elemente-Diskretisierung von linearen
parabolischen Problemen (wie der Wärmeleitungsgleichung), wobei nur
berechenbare Größen wie die berechnete diskrete Lösung eingehen.
Diese Methoden wurden von beiden Autoren [ErikssonJohnson'95]
und von Verfürth [Verfürth'95] auf Klassen von nichtlinearen
parabolischen Gleichungen erweitert. Degeneriert parabolische Probleme
wie z.B. das klassische Stefan-Problem
u_t - \Delta \beta(u) = f
mit \beta(s) = min(s,0) + max(s-1, 0)
sind dabei jedoch nicht erfasst. Da \beta im ganzen Intervall [0,1]
verschwindet, ist die Gleichung nicht gleichmäßig parabolisch,
weshalb obige Techniken nicht auf dieses Problem angewandt werden
können.
In der Arbeitsgruppe wurden adaptive Methoden für degeneriert
parabolische Probleme entwickelt. Die Arbeit
[NSV'2000] behandelt a-posteriori
Fehlerschätzer für das
Stefan-Problem, welche obere Schranken für den Temperatur-Fehler
in $L^2(L^2)$ und den Enthalpie-Fehler in $L^\infty(H^{-1})$ liefern.
Die Methoden basieren auf der Verwendung von (linearen, degenerierten)
dualen Problemen. Eine Implementierung der adaptiven
Finite-Elemente-Methode in zwei und drei Raumdimensionen wurde
vorgenommen, die auf lokalen Verfeinerungen des Gitters durch
Bisektion von Gitterelementen (Dreiecken bzw. Tetraedern) beruht. In
[NSV'2000] wird die Anwendbarkeit der
adaptiven Methode durch numerische Ergebnisse für ein
räumlich zweidimensionales Modellproblem demonstriert. Weitere
numerische Simulationen in zwei und drei Raumdimensionen werden in
[NSV'99a],[NSV'99b]
präsentiert.
Moving interface for a 3D Stefan problem
Continuous Casting
Das Continuous casting Problem ist ein Stefan-Problem mit
vorgegebener, dominanter Konvektion und modelliert z.\,B.\ das
Strangziehen von Stahl. $L^2$-Methoden führen hier auf eine
exponentielle Abhängigkeit der Konstanten im Fehlerschätzer von der
Größe der Konvektion. In [CNS'98]
werden daher a posteriori Schätzer für die $L^1(L^1)$-Norm
des Temperaturfehlers hergeleitet, die nur eine schwache
Abhängigkeit von der Konvektion beinhalten. Die Abbildung zeigt
den Graph der Temperatur und ein zugehöriges Rechengitter (mit
einem vertikalen Zoom um den Faktor 16) aus einer 2D Simulation.
Temperature graph from a 2D continuous casting simulation
Corresponding finite element mesh (vertical zoom by factor 16)
Phasen-Relaxationen
Relaxationen des klassischen Stefan-Problems wurden von Visintin
vorgeschlagen und theoretisch behandelt [Visintin'85,Visintin'86].
Diese führen zu einem System mit jeweils einer
Gleichung für die Temperatur und dem Phasenparameter. Im
Gegensatz zum klassischen Stefan-Problem muss die Temperatur an der
Phasengrenze nicht gleich der Schmelztemperatur der betrachteten
Substanz sein. In [CNS'99] werden a posteriori
Fehlerschätzer und eine darauf aufbauende adaptive
Finite-Elemente-Methode für diese Probleme entwickelt.
Phase variable isolines for eps=0.1 (top) and eps=0.01 (bottom)