Vorlesung über
Theorie und Numerik für partielle Differentialgleichungen
(Wintersemester 2009/2010)

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Inhalt:

Partielle Differen­tial­gleichungen sind Gleichungen, die einen Zusammenhang zwischen einer Funktion u, deren partiellen Ableitungen und weiteren gegebenen Funktionen beinhalten, z.B.

-∂_xxu(x,y) - ∂_yyu(x,y) = f(x,y)  für (x,y)∈Ω

wobei Ω eine Teilmenge des ℝ² ist. Diese Differen­tial­gleichung ist vom elliptischen Typ und steht im Mittel­punkt der Vorlesung. Das zu lösende Problem besteht nun darin, zu gegebenen Funktionen f:Ω→ℝ und g:∂Ω→ℝ eine Funktion u:Ω→ℝ zu finden, welche die obige Differen­tial­gleichung löst und die Rand­bedingung

u(x,y) = g(x,y) für (x,y)∈∂Ω

erfüllt.

Partielle Differen­tial­gleichungen treten oft als Modelle für physikalishe Vorgänge auf. Das obige Beispiel beschreibt z.B. die Temperaturverteilung u in einem Raum Ω, wenn der Raum gemäß der Funktion f aufgeheizt wird und die Wände (∂Ω) des Raumes auf der Temperatur g gehalten werden.

Da sich eine explizite Lösung nur in Spezialfällen finden lässt, muss man sich zunächst auf die Untersuchung der Frage, ob es überhaupt Lösungen gibt und wenn ja, wie viele, beschränken. Der nächste Schritt, der den Schwerpunkt der Vorlesung bilder, ist die numerische Berechnung von Näherungslösungen mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode. Neben der Darstellung des Verfahrens steht die Herleitung von Fehlerabschätzungen im Vordergrund.

Literatur: ( pdf )

	Braess, D.: Finite Elemente, Springer, 1992
	DiBenedetto, E.: Partial Differential Equations, Birkhäuser, 1995
	Evans, L.C.: Partial Differential Equations, AMS, 1998
	Friedman, A.: Partial Differential Equations of Parabolic Type, Prentice-Hall, 1964
	Friedman, A.: Partial Differential Equations, Holt, Rinehart and Winston, 1969
	Gilbarg, D.; Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001
	Johnson, C.: Numerial Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Cambridge University Press, 1987
	Quarteroni, A.; Valli, A.: Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 1994
	Roos, H.G.; Großmann, C.: Numerik partieller Differentialgleichungen, Teubner, 1994

Aufgabenblätter: (werden laufend ergänzt)

Übungsgruppen:

Zeit		Raum	Tutor/in	eMail
Mi.	16–18 Uhr	SR 226	David Stotz
Do.	14–16 Uhr	SR 226	Christian Haarhaus
Do.	16–18 Uhr	SR 226	Christian Haarhaus