Numerik für Differentialgleichungen

Sommersemester 2011

Zur Vorlesung

Inhalt:

Die mathematischen Modelle für Wachstums-, Wärmeleitungs- oder Diffusionsprozesse bestehen aus Anfangswertproblemen oder Randwertproblemen für Differentialgleichungen. Im einfachsten Falle sind dies gewöhnliche Differentialgleichungen. Hierbei handelt es sich um Gleichungen, in denen sowohl die gesuchte Funktion als auch ihre Ableitungen vorkommen, im Allgemeinen in einem nichtlinearen Zusammenhang. Nur in den einfachsten Fällen können die Lösungen dieser Gleichungen explizit angegeben werden. Im Allgemeinen ist man daher auf die numerische Lösung mit Hilfe eines Computers angewiesen.
Wir werden in dieser Vorlesung zunächst die theoretischen Grundlagen für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen behandeln. Im Anschluss daran und aufbauend auf den Ergebnissen aus der Vorlesung Numerik werden numerische Verfahren zur Lösung dieser Differentialgleichungen entwickelt und deren Konvergenz gegen die exakte Lösung analysiert.
Will man bei Wachstumsprozessen nicht nur die Gesamtpopulation untersuchen, sondern auch deren räumliche Fluktuation, ist man auf die Modellierung durch partielle Differentialgleichungen angewiesen. Dies gilt auch für die räumliche Ausbreitung etwa von akustischen Störungen oder die Wärmeleitung oder Diffusion in mehreren Raumdimensionen. Wir werden daher auch Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen oder Randwertproblemen für partielle Differentialgleichungen behandeln.

Literatur:

• J. Stoer, R. Bulirsch: Numerische Mathematik I, II, Springer, 2007, 2005.
• P. Deuflhard, A. Hohmann/F. Bornemann: Numerische Mathematik I, II, De Gruyter, 2003, 2002.
• G. Dziuk: Kurzskript.

Studienleistung / Zulassungsbedingung / Klausur / Scheinkriterien

Das Model Numerik für Differentialgleichungen ist eine Wahlveranstaltung im B.Sc.-Studiengang Mathematik. Die Vorlesung und die Übungen haben einen Umfang von 3 SWS. Das Modul Numerik wird mit der erfolgreichen Teilnahme an der Klausur am Ende des Sommersemesters abgeschlossen. Zur Klausur wird zugelassen, wer die Studienleistung erbracht hat.

Die Studienleistung besteht aus

• dem Erreichen von mindestens 50 % der Punkte aus den Übungsaufgaben,
• dem Vorrechnen von mindestens einer Aufgabe in den Übungen sowie
• der regelmäßigen aktiven Teilnahme an Vorlesung und Übungen bei höchstens zweimaligem Fehlen.

Scheine:

Das Modul Numerik für Differentialgleichungen wird abgeschlossen durch die erfolgreiche Teilnahme an der Klausur.

Klausur:

Klausuraufgaben der Klausur vom 02.08.2011.

Übungen zur Vorlesung

Übungsaufgaben:

Praktikum zur Vorlesung

Aufgaben: