Das Wachstum von Dendriten in einer unterkühlten Flüssigkeit aus einem Saatkristall heraus ist ein prominentes Beispiel für die Entwicklung räumlich hochkomplizierter Strukturen aus einfachen Anfangskonfigurationen. Kleine änderungen in den Anfangsbedingungen führen zu stark unterschiedlichen Lösungen. Die komplexe Dynamik der Phasengrenze zwischen fester und flüssiger Phase stellt hohe Anforderungen an Analysis und Simulation. Auf der praktischen Seite bedingt dies effiziente numerische Verfahren, stabile Algorithmen und nicht zuletzt den analytischen Nachweis der Konvergenz des gewählten Verfahrens zumindest für den Fall, dass keine Singularitäten auftreten.
Im wesentlichen besteht das von uns behandelte Modell aus einer Differentialgleichung für die Temperatur (Wärmeleitungsgleichung) mit einer rechten Seite, die ein Funktional der Krümmung des freien Randes ist, und aus einer Differentialgleichung für die geometrische Bewegung der Phasengrenze (Mean Curvature Flow) mit einer rechten Seite, die die Temperatur enthält. Diese zweite Gleichung, die Gibbs--Thomson--Beziehung ist der für Numerik und Numerische Analysis - und auch für die Analysis - schwierige Kern des Problems.
