Forschungsgebiet der Arbeitsgruppe Prof. Dr. G. Dziuk
Arbeitsgruppe Prof. Dr. G. Dziuk
Forschungsgebiet:
Theorie und Numerik nichtlinearer partieller Differentialgleichungen
aus Physik und Mathematik. Wesentliche Themen sind:
Freie Randwertprobleme:
Krümmungsabhängige Bewegung freier Ränder (Stefan-Problem mit
Oberflächenspannung)
Mean Curvature Flow, numerische Berechnung von Viskositätslösungen
Klassisches Stefan-Problem
Degenerierte parabolische Differentialgleichungen (poröse Medien)
Geometrische Variationsprobleme (Minimalflächen, Flächen
vorgeschriebener Krümmung)
Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen:
Zeitabhängige Probleme in zwei und drei Raumdimensionen
Effiziente Löser
Strömungen mit freier Oberfläche (Marangoni-Konvektion)
Werkzeuge und Methoden:
Analysis und Numerische Analysis:
Qualitatives Verhalten von Lösungen nichtlinearer
partieller Differentialgleichungen, Fehlerabschätzungen für
Finite-Elemente-Verfahren (Mean Curvature Flow, freie Randwertprobleme
und geometrische Variationsprobleme).
Einige der behandelten Probleme besitzen nur sogenannte
Viskositätslösungen, die aus geeigneten Regularisierungen
hervorgehen.
Wichtigstes numerisches Werkzeug der Arbeitsgruppe ist die
Verwendung selbstadaptiver Methoden. Diese sind in der Lage,
die numerischen Freiheitsgrade optimal zu verteilen und dadurch
den numerischen Aufwand drastisch zu verringern.
Die fundamentalen Bausteine adaptiver Verfahren sind zum einen
Fehlerschätzer bzw. Indikatoren. Diese geben Informationen,
welche nur aus
der diskreten Lösung und den gegebenen Daten erzeugt werden, über
die lokale Größe des Fehlers zwischen diskreter und exakter
Lösung. Dadurch wird bestimmt, wie die lokale Feinheit des
zugrundeliegenden Rechengitters zu steuern ist.
Fehlerschätzer sind durch eine rigorose Analysis
mathematisch abgesichert, während Indikatoren zum Teil auf
Heuristiken beruhen, da eine Analysis für komplexe und nichtlineare
Probleme oft nicht möglich ist. Entwickelt wurden Fehlerschätzer
für
allgemeine nichtlineare Probleme, hergeleitet mittels
Dualitäts-Techniken,
Außenraumprobleme, welche eine automatische
Rechengebietsvergrößerung
steuern,
das klassische Zwei-Phasen Stefan-Problem,
die an die Lösung angepaßte Ausrichtung des Rechengitters
bei elliptischen Problemen.
Der zweite Baustein für adaptive Verfahren ist eher algorithmischer
Natur und besteht aus Algorithmen zur Gittermodifikation.
Mit Hilfe dieser Algorithmen werden die Rechengitter
lokal verfeinert und vergröbert.
Für verschiedene Klassen von Gittern, die
den speziellen numerischen Methoden angepaßt sind, wurden
solche Tools entwickelt und implementiert (Dreiecks-, Tetraeder-,
Rechtecks- und Prismengitter).
Effiziente Löser:
Gerade bei dreidimensionalen Simulationen sind
die zu lösenden Gleichungssysteme sehr groß. Daher sind effiziente
Löser von großer Bedeutung. Eine wichtige Klasse von Lösern
sind die sogenannten Multilevel-Methoden (Mehrgitter, Vorkonditionierer)
welche die hierarchische Struktur von (lokal) verfeinerten
Rechengittern ausnutzen. Implementiert wurden Löser für lineare
und spezielle nichtlineare Probleme.
Adaptive Multilevel-Verfahren:
Design universeller
Datenstrukturen und eines Programmierkonzeptes zur Lösung nichtlinearer
partieller Differentialgleichungen mit Hilfe von Multilevel-Verfahren.
Entwicklung des Finite-Elemente-Pakets ALBERT als flexible Toolbox
für Lehre, Forschung und Anwendungen.
Visualisierung:
Benutzerspezifische Datenstrukturen sind i.a.
im Hinblick auf die verwendeten numerischen Methoden optimiert.
Um Unabhängigkeit von den speziellen Datenstrukturen zu erlangen,
wurde eine allgemeines prozedurales Interface zwischen modernen
Numerik-Paketen und Visualisierungs-Tools entwickelt. Dieses
Interface wurde im Rahmen des Grafikpakets GRAPE implementiert.
Anwendungen:
Kristallwachstum (Simulation von 3 dimensionalen Dendriten)
Simulation von Halbleiterschmelzen (Kooperation mit dem
Kristallographischen Institut der Universität Freiburg)
Simulation der Augenlinsenkorrektur durch Laserstrahlen
(Kooperation mit Arbeitsgruppe W. Ertmer, Hannover)
"Continuous Casting" bei der Stahlproduktion
(Kooperation mit J. Kacur, Bratislava)
Schrödinger-Gleichung
Simulation eines wachsenden Dendriten (A. Schmidt)
Strömung hinter einem Hindernis, von Karman'sche Wirbelstraße
(E. Bänsch)