Ein Überblick über Forschungsgebiet, Werkzeuge und Methoden

Frühere Projekte

Numerische Simulation von Zwei-Phasen Strömungen mit inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen und freiem Kapillarrand

Projekt C2 im Rahmen der DFG-Forschergruppe Nonlinear Partial Differential Equations

Die Arbeit befaßt sich mit dem Strömungsverhalten zweier nichtmischbarer, inkompressibler Flüssigkeiten in zwei Raumdimensionen. Von besonderem Interesse ist das Bewegungsverhalten der Phasengrenze. Geschwindigkeit und Druck der Flüssigkeiten werden mit den Navier-Stokes Gleichungen beschrieben und an der Phasengrenze die Kapillarrandbedingung gestellt. Die Arbeit umfaßt Modellierung des Problems, mathematische Behandlung der Formulierung, Diskretisierung mit einer Finite-Elemente Methode und die numerische Implementierung eines Programms, welches entsprechende Bewegungsvorgänge berechnet und graphisch simuliert.

Numerische Methoden für Strömungen mit vielen freien Kapillarrändern

Projekt C2 im Rahmen der DFG-Forschergruppe Nonlinear Partial Differential Equations

Ziel ist die Berechnung von Strömungen mit freien Kapillarrändern, wobei insbesondere Topologieänderungen des Strömungsgebietes simuliert werden sollen. Dafür sind Levelset-Methoden eine adäquate Technik. Im Projekt werden stabile numerische Methoden für die Navier-Stokes-Gleichungen mit Kapillarrandbedingung entwickelt. Insbesondere werden die Probleme, die durch zerteilte Simplexe entstehen, addressiert, sowie das Problem der Massenerhaltung.

Die Cahn-Hilliard-Gleichung auf sich bewegenden Flächen

Teil des Projekts A1 im Rahmen der DFG-Forschergruppe Nonlinear Partial Differential Equations

Durch einen Diffusionsvorgang, der durch die Cahn-Hilliard-Gleichungen auf einer Fläche mit gekoppelter Bewegungsvorschrift modelliert wird, lassen sich mölicherweise chemische Entmischungsvorgäge, die zu nanoporösen Strukturen führen, beschreiben. Zur Diskretisierung diese Problems werden Algorithmen, die auf parametrischen Methoden beruhen, entwickelt. Zudem werden zu einer vereinfachten Version des Problems analytische und numerische Ergebnisse hergeleitet.

Numerik für den Ricci-Fluss

Der Ricci-Fluss spielt beim Beweis der Poincaréschen Vermutung eine bedeutende Rolle. Entgegen seiner herausragenden Bedeutung beschränken sich bisherige Arbeiten zur Numerik des Ricci-Flusses aber auf einige wenige Spezialfälle. In diesem Projekt soll nun ein numerischer Algorithmus für den Ricci-Fluss entwickelt werden, der prinzipiell auch in höheren Dimensionen funktioniert. Grundlage unserer Forschung stellt eine schwache Formulierung der Ricci-Krümmung dar.

Berechnung von Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten

Gleichgewichtsfiguren freier, viskoser Flüssigkeiten sind rotierende starre Körper, die von Oberflächenspannung zusammengehalten werden. Die hier benutzte numerische Methode verwendet parametrische Finite Elemente.

Eigenwertberechnung mit Finiten Elementen höherer Ordnung

Die Berechnung der Lösungen der Helmholtz-Gleichung führt bei Diskretisierung mit der Methode der Finiten Elemente auf ein verallgemeinertes Eigenwertproblem. Sollen sehr viele Eigenwerte mit hoher Genauigkeit bestimmt werden, so bieten sich Elemente höherer Ordnung wegen ihrer guten Approximationseigenschaften an. Im Rahmen eines Projekts mit dem Institut für Kernphysik an der TU Darmstadt konnten die berechneten Eigenwerte mit experimentellen Daten verglichen werden.

Anisotroper mittlerer Krümmungsfluss in höherer Kodimension

Projekt A1 im Rahmen der DFG-Forschergruppe Nonlinear Partial Differential Equations

Der anisotrope mittlere Krümmungsfluss ist bereits sehr intensiv untersucht worden, sowohl analytisch als auch numerisch. Bisher hat man sich meistens für den Fall Kodimension gleich eins interessiert, also für den Fluss von Hyperflächen. Ziel dieses Projekts ist es, den Fall höherer Kodimension zu erforschen.
Wir betrachten den anisotropen mittleren Krümmungsfluss für parametrische Kurven und zweidimensionale Flächen in R^n für beliebig großes n, und untersuchen dessen numerische Approximation mit der Methode der Finiten Elemente.